הסדרה שמתכנסת בדיוק ל-e היא סדרת הסכומים החלקיים של ההופכיים של הפקטוריאלים, וסכומה האינסופי הוא e, כלומר בערך 2,718281828. "שואפת ל-e" פירושו שהפער בין הסדרה ל-e קטן בלי גבול ככל ש-n גדל. כבר הסכום עד n=10 נותן 2,7182818, והסדרה המפורסמת האחרת, (1+1/n)^n, איטית ממנה בהרבה.
עשרה איברים. מי שסוכם 1/0! + 1/1! + 1/2! וממשיך, מקבל דיוק שהסדרה הידועה מהקורס בחדוא, (1+1/n)^n, לא מגיעה אליו גם אחרי אלפי איברים.
מה זה הקבוע e ולמה כל המתמטיקה מסתובבת סביבו?
e הוא מספר אי רציונלי ששווה בקירוב ל-2.718281828. הוא הבסיס של הלוגריתם הטבעי, והפונקציה e^x היא המיוחדת שנגזרתה שווה לה עצמה.
לכן הוא צץ בכל מקום שבו משהו גדל או דועך באופן יחסי לגודלו: ריבית דריבית רציפה, התפרקות רדיואקטיבית, אוכלוסיות. בלי e אין הרבה חדוא.
e במספרים
- 2.718281828הערך של e בקירוב
- 2.7182818הסכום 1/k! עד n=10
- 2.5937(1+1/n)^n באותו n=10
מה בעצם אומר שסדרה שואפת ל-e?
תבחרו הפרש קטן כרצונכם, נניח מיליונית. סדרה שואפת ל-e אם מאיזה מקום ואילך כל איבריה קרובים ל-e יותר מההפרש הזה. ככה נראית הגדרת הגבול, בלי הסימנים.
יש כאן הבחנה שמבלבלת סטודנטים. האיברים של הסדרה 1/n! שואפים ל-0, לא ל-e. מי ששואף ל-e הוא הסכום המצטבר שלהם, כלומר סדרת הסכומים החלקיים. איבר בודד לא חייב להיות קרוב ל-e, רק הסכום.
איזו סדרה מתכנסת בדיוק ל-e?
הסכום האינסופי של 1/n! מ-n=0 עד אינסוף שווה ל-e. שני האיברים הראשונים, 1/0! ו-1/1!, שווים שניהם 1, ולכן הסכום מתחיל ב-2 ורק משם מטפס לאט.
למה דווקא הסדרה הזו? כי e^x הוא פונקציה שכל הנגזרות שלה הן e^x עצמה, ובנקודה 0 כולן שוות 1. פיתוח טיילור סביב 0 הוא סכום של x^n/n! (המקדם של כל איבר הוא הנגזרת ה-n חלקי n!). מציבים x=1 וקיבלנו 1/n! בדיוק. אין כאן קסם, רק נגזרת אחת שחוזרת על עצמה.
שלושה צעדים לכל איבר
- מחלקים את האיבר הקודם ב-nמ-1/(n-1)! מקבלים 1/n!
- מוסיפים לסכוםהסכום החדש הוא הסכום הקודם ועוד האיבר
- משווים ל-eהפער קטן בערך כמו האיבר הבא
איך מחשבים את איברי הסדרה 1/0! + 1/1! + 1/2! +... צעד אחרי צעד?
מחשבים פקטוריאל, הופכים, ומוסיפים לסכום הקודם. הטבלה מציגה את כל עשרת הצעדים עם הפער מ-e. הנה הדרך בקצרה:
- מתחילים ב-1/0! = 1. הסכום: 1.
- מוסיפים 1/1! = 1. הסכום: 2.
- מוסיפים 1/2! = 0.5. הסכום: 2.5.
- מוסיפים 1/3! = 1/6, כ-0.166667. הסכום: 2.666667.
- ממשיכים כך, וכל איבר קטן בהרבה מקודמו.
כמה איברים צריך כדי להגיע קרוב ל-e?
פחות ממה שנדמה. אחרי חמישה איברים (עד 1/4!) הסכום הוא כ-2.7083. אחרי שמונה איברים (עד 1/7!) כ-2.71825. ) כ-2.7182818.
השגיאה עוקבת אחרי האיבר הבא כמו צל. התרשים מראה איך הפער נעלם אחרי כמה צעדים.
איך הסכומים החלקיים מתקרבים ל-e
- סכום חלקי עד n
- e
הנתונים כטבלה
| סכום חלקי עד n | e | |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 2.72 |
| 1 | 2 | 2.72 |
| 2 | 2.5 | 2.72 |
| 3 | 2.67 | 2.72 |
| 4 | 2.71 | 2.72 |
| 5 | 2.72 | 2.72 |
| 6 | 2.72 | 2.72 |
| 7 | 2.72 | 2.72 |
| 8 | 2.72 | 2.72 |
| 9 | 2.72 | 2.72 |
| 10 | 2.72 | 2.72 |
מה הערך המדויק של e?
e = 2.718281828459045... והוא אינו שבר פשוט. בפועל, שבע ספרות מספיקות לכמעט כל חישוב בבית הספר ובהנדסה, ועשר או חמש עשרה ספרות מספיקות לכל מחשבון.
ההוכחה שהוא אי רציונלי קצרה ויפה. נניח e = p/q ונכפיל ב-q!. אגף שמאל, q!·e, הוא מספר שלם. הסכום של q!·(1/k!) עבור k עד q הוא גם שלם. מה שנשאר הוא הזנב, q!·(1/(q+1)! + 1/(q+2)! +...), והוא חיובי וקטן מ-1/q, כלומר שבר בין 0 ל-1. שלם פחות שלם שווה שבר בין 0 ל-1? סתירה. לכן e אינו שבר.
האם יש עוד סדרות שמתכנסות ל-e, ואיזו מהן הכי מהירה?
הסדרה הקלאסית השנייה היא (1+1/n)^n, ההגדרה שיוצאת מריבית דריבית: מחלקים שנה ל-n תקופות ומצמיחים בכל אחת בשיעור 1/n. היא עולה אל e מלמטה, אבל בעצלתיים. ב-n=10 היא מגיעה ל-2.5937, ב-n=1000 ל-2.7169, והסכום הפקטוריאלי כבר ב-n=10 נותן 2.7182818. הטבלה והמחשבון שלמטה מראים את זה בלי לוותר על אף ספרה.
השגיאה של (1+1/n)^n היא בערך e חלקי 2n. הפער הזה הוא לא עניין של טעם.
בעינינו, סדרת ההופכיים של הפקטוריאלים היא הדרך הנכונה להכיר את e. (1+1/n)^n נשארת יפה כהגדרה, לא ככלי חישוב.
מחשבון (1+1/n)^n
דוגמה: n: 100. התוצאה: 2.7048.
מחשב (1 ועוד 1 חלקי n) בחזקת n. השוו ל-2.718282.
| n | n! | 1/n! | סכום חלקי | הפער מ-e |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1.718282 |
| 1 | 1 | 1 | 2 | 0.718282 |
| 2 | 2 | 0.5 | 2.5 | 0.218282 |
| 3 | 6 | 0.166667 | 2.666667 | 0.051615 |
| 4 | 24 | 0.041667 | 2.708333 | 0.009948 |
| 5 | 120 | 0.008333 | 2.716667 | 0.001615 |
| 6 | 720 | 0.001389 | 2.718056 | 0.000226 |
| 7 | 5040 | 0.000198 | 2.718254 | 0.000028 |
| 8 | 40320 | 0.0000248 | 2.718279 | 0.0000031 |
| 9 | 362880 | 0.00000276 | 2.7182815 | 0.00000030 |
| 10 | 3628800 | 0.000000276 | 2.7182818 | 0.000000027 |
| n | סכום 1/k! עד n | (1+1/n)^n |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 2.5 | 2.25 |
| 5 | 2.716667 | 2.48832 |
| 10 | 2.7182818 | 2.593742 |
| 100 | 2.7182818 | 2.704814 |
| 1000 | 2.7182818 | 2.716924 |
שאלות נפוצות
האם e שווה בדיוק ל-2.718?
לא. 2.718 הוא קירוב. e הוא מספר אי רציונלי, וערכו 2.718281828459045... ללא סוף ובלי חזרה.
האם הסכום החלקי עובר אי פעם את e?
לא. כל הסכומים החלקיים של 1/n! קטנים מ-e, כי כל איבר חדש חיובי והזנב שנשאר חיובי. הסדרה עולה אל e מלמטה.
האם (1+1/n)^n גם עולה אל e מלמטה?
כן. הסדרה עולה ועולה, אבל ערכיה תמיד נמוכים מ-e, כפי שרואים בטבלה.
עודכן לאחרונה:
